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@ Zhang zhiyang · Tuesday, Aug 13, 2019 · 1 minute read · Update at Tuesday, Aug 13, 2019

不定积分

$\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C$

$\int \cot xdx=\ln|\csc x|+C$

换源积分法

去根号

  • $ \sqrt[n]{ax+b}=t$
  • 三角变换
    • $\sqrt[n]{a^2-x^2},令x=a\sin t,则\sqrt[n]{a^2-x^2}=acost$
    • $\sqrt[n]{a^2+x^2},令x=a\tan t,则\sqrt[n]{a^2+x^2}=a\sec t$
    • $\sqrt[n]{x^2-a^2},令x=a\sec t,则\sqrt[n]{x^2-a^2}=a\tan t$

分部积分法

$$\int f(x)dg(x)=f(x)g(x)-\int g(x)df(x)$$ $\int f(x)[指数函数]dx->\int f(x)d[指数函数]$

$\int f(x)[三角函数]dx->\int f(x)d[三角函数]$

$\int f(x)[对数函数]dx->\int [对数函数]df(x)$

$\int f(x)[反三角函数]dx-\int [对数函数]df(x)$

令反三角函数为t

$\int x^2arctanxdx$

令$arctanx =t$

则$x=\tan t$

原式$=\int \tan^2t*td(\tan t)$

$=\int (\sec^2t-1)tdt$

$=\int \sec^2t*tdt-\int tdt$

$=\int td(\tan t)-t^2/2$

$=t*\tan t-\int tantdt-\frac{t^2}{2}$

$=t*\tan t-\ln |\sec t|-\frac{t^2}{2}+C$

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不过是些许风霜罢了

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我听别人说这世界上有一种鸟是没有脚的,它只能够一直的飞呀飞呀,飞累了就在风里面睡觉,这种鸟一辈子只能下地一次,那一次就是它死亡的时候。

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